11岁之前的儿童能进行比例推理吗？

比例推理在数学乃至很多学科领域中都具有非常重要的作用。

传统的皮亚杰理论认为，儿童在形式运算阶段之前不能进行比例推理。直至到十一二岁进入形式运算阶段，即可以在头脑中将形式和内容分开，可以离开具体事物，根据假设来进行逻辑推演，才能够进行比例推理。

但是近年来一些新的研究结果却推翻了这种观点。那么究竟儿童在十一二岁之前能进行比例推理吗？

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本文选自小学数学专业刊物「《新世纪小学数学》（2015 – 6 期）」，作者「康武、李月月」

1.

什么是比例推理

比的概念包含正比、反比和比例三个部分。两数相除叫这两个数的比，例如：长方形的长是6，宽是 4，长和宽的比是 6︰4。

比就是由一个前项和一个后项组成的除法算式，只不过把“÷”改成了“︰”（比号）而已，除法算式表示的是一种运算，而比则表示两个数的关系。

表示两个相等比值的比的算式叫比例，如 A︰B＝C︰D。所谓比例推理能力，简而言之就是比较不同比的能力。

比例信息在很多知识领域都会有所涉及，例如百分比、温度、密度、浓度、化学成分、速度及经济价值等。

比例在数学学习中也是非常重要的，恩普森就认为比例是有理数运算的基础，也是代数学和几何问题解决的基础。美国学者克莱默认为，比例推理对数学思维的培养也是非常重要的。

2.

比例推理的传统理论及研究

关于比例推理的发展年龄，传统的观点来源于皮亚杰和英海尔德。

根据皮亚杰的理论，比例推理意味着能够理解“有理数之间的关系”，这是形式运算的一个重要标志。而十一二岁之前的儿童不能理解这种关系，因此这种观点认为十一二岁前的儿童不能进行比例推理。

很多研究也支持了这种传统的皮亚杰理论。

例如，诺尔丁在 1980 年给 6～16 岁的儿童呈现两个比例，每个比例都是由橙汁和水构成，让被试判断哪个比例的橙汁浓度更大。结果发现，与传统的理论一致，12 岁以下的儿童不能进行正确的判断。

3.

比例推理的新近观点及研究

随着对比例推理的进一步研究，新近发现儿童对“比例推理”的理解并不是“全或无”，而是从部分到比较完整、从较多地依赖情境到较少地依赖情境发展的过程，强调儿童早期的直觉策略在数学学习中的价值。

此外，早期的直觉策略可能在形式运算出现后继续影响我们的数学能力。因此，这种观点认为儿童在形式运算阶段之前是可以通过直觉进行比例推理的。

有一些研究表明儿童在五六岁时就可以完成经过稍微修改的比例推理问题。波伊尔等人在2008 年通过梳理这些研究发现，这些研究的结果可以通过一条主线来解释：

发展较早的研究给被试呈现比例时大多是用离散数据（如表示比例的图是由相同大小的小格子组成的），而发展较晚的研究给被试呈现比例时大多是用连续数据（表示比例的图没有可以计数的小格子，而是一个连续体）。

于是波伊尔等人深入探讨呈现比例时的数据类型（离散和连续）是否会影响儿童的比例推理。

波伊尔设计了较为精巧的实验，选择幼儿园，1、2、3、4 年级的儿童为被试（年龄都低于 11 岁），要求儿童选择与目标比例（果汁在总体中的比例）相同的比例。

在实验中，泰迪熊会出现在计算机屏幕的左上角，一个由带有颜色的果汁和浅蓝色的水的混合目标比例栏出现在泰迪熊的下面，这个目标比例符合泰迪熊的口味。

两个可供选择的比例栏出现在屏幕右边三分之二的位置，要求被试根据左边泰迪熊的目标混合比例，判断右边的两个比例哪个才符合泰迪熊的口味。（如下图，分别为离散和连续情境）

「图一」离散：每种颜色都是由一个个同样大小的小格子构成的；

「图二」连续：每种颜色是由一个连续体构成的。

实验结果显示，儿童在连续情境下的比例推理的正确率显著高于离散情境下，这表明 11 岁之前的儿童可以进行比例推理，只是会受到呈现比例的数据类型的影响。

如果呈现比例时所用的是连续变量，那么小学低年级也能很好地进行比例推理，因为这时儿童没办法去通过计数来进行匹配，只能凭直觉去进行判断；但是如果是离散变量，儿童会倾向于使用错误的计数策略，导致比例推理的错误率很高。

「如图一中的目标比例为 1／4，不理解比例的儿童通过计数很可能会选择后面的 3／4，因为两者中都有 4，而不会选择正确的 3／12。」

4.

对数学教学的启示

那么 11 岁之前的儿童能进行比例推理吗？答案是肯定的，此阶段的儿童可能并不能利用形式运算进行比例推理，但是他们可以依靠直觉判断进行比例推理。

因此，针对还没达到形式运算的儿童，我们应该采取相应的教学策略，去引导他们利用直觉去进行比例推理。主要从以下两个方面提出具体的建议：

01. 进行比例推理教学时呈现具体的情境

前面的新近观点已经提及儿童的数学理解是从较多依赖于情境慢慢向较少依赖于情境发展。

对于小学儿童而言，他们的思维发展还没有到达抽象阶段，因此会比较多地依赖于具体情境。所以，在进行比例的教学时，建议教师可以利用一些实物去引导学生认识比例。

比如，可以用两种颜色不同的小木棒组成比，不断改变其中一种颜色木棒的数量，让学生尝试去改变另一种颜色的木棒，使两种颜色木棒的比与之前的相等。

学生在尝试中会慢慢体会到，比例表示两个变量之间的一种关系，其中一个比变化，另一个比也会发生变化。

02. 引导低年级儿童利用直觉策略进行比例推理

直觉是不经过逻辑的、有意识的推理而识别或了解事物的能力。

前面的研究表明，在连续变量情境下，儿童没办法利用计数策略而倾向于使用直觉策略，这时儿童的比例推理的正确率反而会提高。

然而在离散变量情境下，儿童倾向于使用计数策略，但由于他们还没到达形式运算阶段，所以不能正确使用计数策略，往往只能顾及分母或者分子中的一个，因此表现出错误的比例推理。

因此，在实际教学中，对于还没达到形式运算阶段的低年级儿童可以引导他们利用直觉策略进行比例推理。

比如，像实验中那样呈现一些没办法去计数的连续数量的比例，这时学生就只能利用他们的直觉能力去进行比例推理。

参考文献

Boyer, T.W.，Levine，S.C.，& Huttenlocher，J.（2008）. Development of proportionalreasoning：Where young children go wrong.Developmental Psychology，44，1478–1490.

Jeong，Y.，Levine，S.，& Huttenlocher，J.（2007）.The development of proportional reasoning：Effect of continuous vs.discrete quantities.Journal of Cognition and Development，8，237–256.